高二导数教案

　导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。下面是我为您整理的关于高二导数教案的相关资料，欢迎阅读！

高二导数教案 例1

　教学准备

　1. 教学目标

　(1)理解平均变化率的概念.

　(2)了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.

　(3)理解导数的概念

　(4)会求函数在某点的导数或瞬时变化率.

　2. 教学重点/难点

　教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解

　教学难点：会求简单函数y=f(x)在x=x0处的导数

　3. 教学用具

　多媒体、板书

　4. 标签

　教学过程

　一、创设情景、引入课题

　师十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。

　板演/PPT

　师人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系

　h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

　如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

　板演/PPT

　让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。

　设计意图自然进入课题内容。

　二、新知探究

　[1]变化率问题

　合作探究

　探究1 气球膨胀率

　师很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

　气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是

　如果将半径r表示为体积V的函数,那么

　板演/PPT

　活动

　分析

　当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(1)当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为

　0.62>0.16

　可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.

　思考当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

　解析：

　探究2 高台跳水

　师在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

　如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

　(请计算)

　板演/PPT

　生学生举手回答

　活动学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。

　师解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10

　设计意图两个问题由易到难，让学生一步一个台阶。为引入变化率的概念以及加深对变化率概念的理解服务。

　探究3 计算运动员在

　这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:

　(1)运动员在这段时间里是静止的吗?

　(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

　板演/PPT

　生学生举手回答

　师在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.

　活动师生共同归纳出结论

　平均变化率:

　上述两个问题中的函数关系用y=f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子

　我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.

　习惯上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)

　这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2

　同样Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均变化率可以表示为：

　几何意义观察函数f(x)的图象，平均变化率的几何意义是什么?

　探究2 当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?

　从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

　当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1.

　从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1 m/s.

　为了表述方便，我们用xx表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”.

　瞬时速度

　我们用

　表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.

　局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。那么,运动员在某一时刻 的瞬时速度?

　设计意图让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t=2秒时的瞬时速度。

　探究3:

　(1).运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?

　(2).函数f(x)在 x = x0处的瞬时变化率怎样表示?

　导数的概念:

　一般地，函数 y = f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率是

　称为函数 y = f(x) 在 x = x0 处的导数, 记作

　或,

　总结提升

　由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:

　[3]例题讲解

　例题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 y=f (x) = x2–7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.

　解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是

　在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 /h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升.

高二导数教案 例2

　学习要求

　1.能根据定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=1x的导数.

　2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.

　学法指导

　1.利用导数的定义推导简单函数的导数公 式，类推 一般多项式函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想.通过定义求导数的过程，培 养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣.

　2.本节公式是下面几节课的`基础，记准公式是学好本章内容的关键.记公式时，要注意观察公式之间的联系，如公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例.公式5与公式7中ln a的位置的不同等.

　1.几个常用函数的导数

　原函数 导函数

　f(x)=c f ′(x)=

　f(x)=x f′(x)=

　f(x)=x2 f′(x)=

　f(x)=1x

　f′(x)=

　f(x)=x

　f′(x)=

　2.基本初等函数的导数公式

　原函数 导函数

　f(x)=c f′(x)=

　f(x)=xα(α∈Q*) f′(x)=

　f(x)=sin x f′(x)=

　f(x)=cos x f′(x)=

　f(x)=ax f′(x)= (a>0)

　f(x)=ex f′ (x)=

　f(x)=logax

　f′(x)= (a>0且a≠1)

　f(x)=ln x f′(x)=

　探究点一 几个常用函数的导数

　问题1 怎样 利用定义求函数y=f(x)的导数?

　问题2 利用 定义求下列常用函数的导数：(1)y=c (2)y=x (3)y=x2 (4)y=1x (5)y=x

　问题3 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率.物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.(1)函数y =f(x)=c(常数)的导数的物理意义是什么?

　(2)函数y=f(x)=x的导数的物理意义呢?

　问题4 画出函数y=1x的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.

　探究点二 基本初等函数的导数公式

　问题1 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题?

　问题2 你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗?

　例1 求下列函数的导数：(1)y=sinπ3;(2)y=5x;(3)y=1x3;(4)y=4x3; (5)y =log3x.

　跟踪1 求下列函数的导数：(1)y=x8;(2)y=(12)x;(3)y=xx;(4)y=

　例2 判断下列计算是否正确.

　求y=cos x在x=π3处的导数，过程如下：y′| = ′=-sin π3=-32.

　跟踪2 求函数f(x)=13x在x=1处的导数.

　探究点三 导数公式的综合应用

　例3 已知直线x-2y-4=0与抛物线 y2=x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧 上求一点P，使△ABP的面积最大.

　跟踪3 点P是曲线y=ex上任意一点，求点P到直线y=x的最小距离.

　达标检测

　1.给出下列结论：①若y=1x3，则y′=-3x4;②若y=3x，则y′=133x;

　③若y=1x2，则y′=-2x-3;④若f(x)=3x，则f′(1)=3.其中正确的个数是 ( ?)

　A.1 B.2 C.3 D.4

　2.函数f(x)=x，则f′(3)等于 ( ?)

　A.36 B.0 C.12x D.32

　3.设正弦曲线y=sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是 ( ?)

　A.[0，π4]∪[3π4，π) B.[0，π) C.[π4，3π4] D.[0，π4]∪[π2，3π4]

　4.曲线y=ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.

定义：设函数 在 有定义,若极限 存在,则称函数f在点 处可导,并称该极限位函数f在点 处的导数,记作

定义：令 , ,则

注：

1.导数为函数增量与自变量增量之比的极限,这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(差商),导数 为f在 处关于x的变化率

2.若增量比的极限不存在,则称f在点 处不可导

设f(x)在 可导,则 是当 时的无穷小量,于是 ,即 ,称为f(x)在点 的有限增量公式

注：公式对 依然成立

定理：若函数f在点 可导,则f在点 连续

注：可导必连续,连续未必可导

例：证明函数 仅在点 处可导,其中 为Dirichlet函数

证：

定义：设函数 在点 的某右邻域 上有定义,若右极限 存在,则称该极限值为f在点 的右导数,记作

类似定义左导数

右导数和左导数统称为单侧导数

定理：若函数 在点 的某邻域上有定义,则 存在 与 都存在且

定义：若函数在区间I上每一点都可导(对区间端点,仅考虑相应的单侧导数),则称f为I上的可导函数,此时对每个 ,都有f的一个导数 (或单侧导数)与之对应,这样就定义了一个在I上的函数,称为f在I上的导函数,简称导数,记作

即

注：

1.物理学中导数y'也常用牛顿记号

2. 有时也写作 或

例：证明(sinx)'=cosx

证：

例：证明 ,特别

证：

曲线 在点 的切线方程

函数f在点 的导数 是曲线 在点 处的切线斜率

表示切线与x轴正向的夹角,则

例：求曲线 在点 处的切线方程与法线方程

解：

注：对曲线 ,可将它在点 处的切线斜率 改写成如下形式：

因此为了作过点P的切线,可对x轴上从原点O到点 的线段三等分,取靠近 的分点Q,则直线PQ即为所求切线

定义：若函数f在 上 ,有 ,则称函数f在点 取得极大(小)值,称点 为极大(小)值点

极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点

例：证明：若 ,则 ,有

证：

注：若 存在且不为零,则 不是f(x)的极值点

定理：设函数f在 上有定义,且在点 可导,若点 为f的极值点,则

几何意义：若函数 在极值点 可导,则在该点的切线平行于x轴

称满足方程 的点为稳定点

例：对函数 ,点x=0是稳定点,但不是极值点